بحث رياضيات عن الجبر

بحث رياضيات عن الجبر 3148

الجبر كلمه عربية و هو فرع من علم الرياضيات و جاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات و الفلك و الرحالة محمد بن موسي الخورازمى (الكتاب المختصر فحساب الجبر و المقابلة) الذي قدم العمليات الجبريه التي تنظم ايجاد حلول للمعادلات الخطيه و التربيعية.


ويشكل علم الجبر احد الفروع الثلاثه الاساسية فالرياضيات اضافه الى الهندسه الرياضيه و التحليل الرياضى و نظريه الاعداد و التباديل و التوافيق.
ويهتم ذلك العلم بدراسه البني الجبريه و التماثلات بينها،
والعلاقات و الكميات.


والجبر هو مفهوم اوسع و اشمل من الحساب او الجبر الابتدائي.
فهو لا يتعامل مع الارقام فحسب،
بل يصيغ التعاملات مع الرموز و المتغيرات و الفئات كذلك.
ويصيغ الجبر البدهيات و العلاقات التي بواسطتها ممكن تمثيل اي ظاهره فالكون.
ولذا يعتبر من الاساسيات المنظمه لطرق البرهان.

يوجد لذالك الوصف نفس الاختلاف:


بدون المادة.
تعني جزء من علم الجبر ،

مثل الجبر الخطى ،

الجبر الابتدائى (قواعد معالجة-الرموز التي تدرس فمناهج الرياضيات كجزء من التعليم الاساسى و التعليم الثانوي) او الجبر المجرد (دراسه الهياكل الجبريه مع المادة).


فهذا يعني انه مثيل لبعض التراكيب المجردة،
مثل جبر تبادلى او الجبر الترابطي.


كما هو الحال فالجملة: الجبر التبادلى هو دراسه الحلقات،
الحلقات التبادلية،
التى تعرف كلها بالجبر التبادلى على الاعداد الصحيحة.


مصطلح علم الجبر احيانا يستعمل للدلاله على عمليات و اساليب جبريه بينما الهيكل او البنيه الاساسية لها غير متعلقه بعلم الجبر.
علي سبيل المثال،
الجبر هو سلسله لا نهائيه من الممكن ان تدل على سلسله من الاساليب الحاسوبيه دون استعمال مفاهيم لا نهائيه من الجمع،
الحدود و التقارب.
الصفه “جبري” عاده تعني ما يتعلق بالجبر،
كما فالهيكل الجبرى .

ولاسباب تاريخية،
قد تعني كذلك العلاقه بجذور معادلات متعدده الحدود،
كما فالعدد جبري،
والامتداد جبرى او التعبير جبري


علم الجبر كاحد فروع علم الرياضيات[عدل]

ان اهم ما يعرف فيه علم الجبر هو تشابة عملياتة الحسابيه بالعمليات الحسابيه البسيطة،
الا ان الفرق انه يتضمن متغيرات رياضيه غير معروفة القيمة.
هذه المتغيرات تمثل ارقاما لم تعرف بعد (مجهولة) او ارقاما غير محدده (متغير او معامل)،[1] مما يسمح للفرد ان يثبت صحة هذي الخصائص بغض النظر عن الارقام محل النظر.
مثلا فهذه المعادله التربيعيه الاتية:


ا س 2 + ب س + ج = 0


ا و ب و ج مجاهيل و س معامل.
وحل هذي المعادله يتطلب حساب المجاهيل و التعبير عن قيمه المعامل حساب علاقتة بالمجاهيل،
وبهذا يتم اعطاء حل للمعادله المعينة بعد القيام بعملية حسابيه بسيطة.


كما تطور علم الجبر فقد توسع الى حاجات ثانية غير عدديه ،

مثل المتجهات و المصفوفات او متعدده الحدود.
ثم تم تلخيص الخصائص الهيكليه لهذه الحاجات غير العدديه لتحديد الهياكل الجبريه كالمجموعات،
ودوائر و الحقول و الجبر.
قبل القرن السادس عشر،
تم تقسيم الرياضيات الى قسمين فرعيين فقط هما الحساب و الهندسة.
علي الرغم من بعض الاساليب التي و ضعت فو قت قبل هذا بكثير،
ويمكن النظر لها فالوقت الحاضر كالجبر فان ظهور الجبر بعد هذا بوقت قصير،
وحساب التفاضل و التكامل كحقول فرعيه صغار للرياضيات يعود فقط للقرن 16 او 17.
من النصف الثاني من القرن 19 على،
ظهرت الكثير من المجالات الحديثة للرياضيات،
وبعضها شملت علم الجبر،
اما كليا او جزئيا.


ويتبع هذا ان الجبر بدلا من ان يصبح فرعا من فروع الرياضيات،
اصبح هذي الايام مجموعة من فروع طرق المشاركه الشائعة.
وهذا يري بشكل و اضح فتصنيف مقالات الرياضيات [2] حيث و لا واحد من مناطق المستويات الاولي (مدخلات الاعداد الثنائية) تسمي الجبر.
فى الحقيقة الجبر على و جة التقريب,
هو اتحاد اقسام 08-انظمه الجبر العامة و 12- نظريه الحقول و متعددات الحدود و 13- الجبر التبادلى و 15-الجبر الخطى و المتعدد الخطى ؛
نظريه المصفوفات و 16-الحلقات الترابطيه و الجبر و 17-الحلقات الغير ترابطيه و الجبر و 18- نظريه التصنيف الجبر التماثلى و 19-نظريه كاى و 20- نظريه المجموعة.
بعض مناطق المستوي الاول قد تعتبر انها تنتمى الى الجبر بشكل جزئى ك11-نظريه الاعداد (بشكل عام لنظريه العدد الجبري) و 14-الهندسه الجبرية.


الجبر الابتدائى هو جزء من الجبر الذي عاده يدرس فالصفوف الاوليه للرياضيات.الجبر المجرد هو اسم يعطي عاده لدراسه مؤسسى الجبر انفسهم.


تاريخ[عدل]

بداية الجبر كمجال من الرياضيات ربما تكون بدايتها فنهاية القرن السادس عشر،
مع عمل فرانسوا فييت .

ومع هذا ممكن اعتبار بعض الاعمال فو قت سابق بانها الجبر و تعتبر عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.


عصور ما قبل التاريخ من الجبر[عدل]

الصفحة الاولي من الكتاب المختصر فحساب الجبر و المقابله للخوارزمي


يمكن تتبع جذور علم الجبر الى قدماء البابليين [3]،
الذين طوروا نظاما حسابيا متقدما كان قادرا على القيام بعمليات حسابيه بكيفية خوارزمية.
فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تحل عاده اليوم باستعمال المعادلات الخطيه و المعادلات التربيعيه و المعادلات الخطيه غير المحددة.
وعلي النقيض من ذلك،
فان معظم المصريين فذلك العصر،
وايضا بالرياضيات اليونانيه و الصينية فالالفيه الاولي قبل الميلاد،
تحل عاده كهذه المعادلات بالطرق الهندسية،
مثل تلك التي و صفت فبرديه ريند الرياضيه و اصول اقليدس و الفصول التسعه فالفن الرياضي.
وفر العمل الهندسى لليونانيين،
متميزا بالعناصر،
اطارا لتعميم الصيغ ما و راء حل مسائل معينة الى انظمه اكثر عموميه من صياغه و حل المعادلات،
وعلي الرغم من ان ذلك لم يلاحظ حتي تطورت الرياضيات فالعصور الوسطي من الاسلام.[4]

خضعت الرياضيات الاغريقيه لتغير جذرى فعصر افلاطون.
انشا الاغريق الجبر الهندسى حيث مثلت المصطلحات من جوانب الاشكال الهندسية ،

وكما جرت العاده بالخطوط التي كانت تحتوى على حروف مرتبطه بها.[1] ديوفانتوس الاسكندري(القرن الثالث ميلادي)،
يسمي احيانا “والد الجبر” ،

كان عالم رياضيات اغريقيا اسكندريا و مؤلف سلسله من الكتب تسمي ارثميتكا .
تبحث كتبة فحل المعادلات الجبرية.[5] تاتى كلمه الجبر من اللغه العربية (الجبر بمعني الترميم او الاستعادة) و كما تاتى العديد من اساليبها من الرياضيات العربية/ الاسلامية.
اثرت التقاليد التي نوقشت فاعلاة بشكل مباشر على محمد بن موسي الخوارزمى (عام ٧٨٠-٨٥٠).
لاحقا،
الف كتاب المختصر فحساب الجبر و المقابلة،
الذى انشا علم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن الهندسه و علم الحساب.[6]

اكمل عالما الرياضيات الهيلينستيان هيرو السكندرى و ديوفانتس[7] مثلهم كالعلماء الهنود فالرياضيات كبراهماغوبتا تعاليم المصريين و البابليين على الرغم من اعتبار كتابي ارثمتكا لديفانتوس و السيدهانتالبراهماغوبتا بمستوي اعلي [8].
فعلي سبيل المثال,
تم وصف حل اول مساله حسابيه كاملة (مشتمله الصفر و القيمه السالبة) الى المعادلات التربيعيه من قبل براهماغوبتا فكتابة سيندهانتا.
لاحقا,
طور الرياضيون العرب و المسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقه و الاتقان.
وعلي الرغم من ان ديفانتوس و البابليون استعملوا معظم الطرق الخاصة فحل المعادلات،
كان لمساهمه الخوارزمى السبق الاساسى بذلك.
فلقد حل الخوارزمى المعادلات الخطيه و التربيعيه بدون الحاجة لرمزيه الجبر و الاعداد السالبه اوالصفر,
ومن بعدها قام بتمييز الكثير من المعادلات التربيعية.[9] عرف عالم الرياضيات الاغريقى ديوفانتوس تاريخيا بلقب ” و الد الجبر”،
ولكن برزت فالاونه الاخيرة نقاشات كثيرة حول ما اذا كان الخوارزمى (مؤسس علم الجبر) يستحق ذلك اللقب بدلا عن ديوفانتوس.[10] حيث يشير مؤيدى ديوفانتوس الى حقيقة ان علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمى اكثر بدائيه مقارنة بالموجود ف“اريثميتيكا”،
وان “اريثميتيكا” يتبع منهجيه الاختصار بينما الجبر بلاغى تماما.[11] فحين يشير مؤيدى الخوارزمى الى حقيقة انه ادخل منهجيه “التبسيط” و ”الموازنة” (نقل التعابير السالبه الى الجانب الاخر من المعادلة،
او بعبارة اخرى،
حذف التعابير المتشابهه من كلا اطراف المعادلة) و هي المنهجيه المعبر عنها فالاصل بكلمه “الجبر”[12]،
كما و انه اعطي شرحا مفصلا عن حل المعادلات التربيعية[13]،
مدعما بالبراهين الهندسية،
بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته.[14] كما ان “جبر” الخوارزمى ليس معنى “بسلسله من المسائل الرياضيه التي يجب حلها،
بل بعرض يبدا بتعابير بدائية،
تعطى تركيباتهم كل النماذج المحتمله للمعادلات،
التي،
من الان فصاعدا،
ستشكل بوضوح مقال الدراسه الحقيقي”.
درس الخوارزمى كذلك المعادله لذاتها و ”بشكل عام،
لم يكتف ببساطه وجود المعادله فسياق حل المسالة،
بل باستخدامها خصيصا لتعريف فئه من المسائل اللانهائية.[15]

نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسى عمر الخيام فتحديد اسس الهندسه الجبريه و ايجاد الحل الهندسى العام للمعادله التكعيبية.
كما اوجد عالم رياضيات فارسى احدث يدعي شرف الدين الطوسى مجموعة من الحلول الجبريه و العدديه لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية[16]،
بالاضافه الى انه طور مفهوم الدوال[17].
علماء الرياضايات الهنديان مهافيرا و بهاسكارا الثاني،
والفارسى الكرخي


[18]،
والصيني تشو شي جيه،
قاموا بايجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب و معادلات الدرجه الرابعة و الخامسة،
والمعادلات كثيرة الحدود باستعمال الطرق العددية.
فى القرن الثالث عشر،
اعتبر حل المعادله التكعيبيه من قبل ليوناردو فيبوناتشى بداية النهضه فعلم الجبر فاوروبا،
فى حين اخذ العالم الاسلامي فالتراجع لصالح العالم الاوربى الذي نهض فمجال تطوير علم الجبر.


تاريخ الجبر[عدل]

يمثل عمل فرانسوا فييت فنهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكيه لعلم الجبر.
فى عام 1637م نشر رينية ديكارت كتاب علم الهندسه مخترعا بذلك الهندسه التحليلية و قدم المناهج الجبريه الحديثة.
كان الحل الجبرى العام لمعادلات التكعيب و معادلات الدرجه الرابعة الذي تم و ضعها فمنتصف القرن السادس عشر،
حدث رئيسى احدث فتطور علم الجبر.
وضعت فكرة المحددات من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكى فالقرن السابع عشر الميلادي,
تبع هذا بشكل مستقل عالم الرياضيات غوتفريد لايبنتس بعد عشر سنوات,
وذلك بهدف حل انظمه المعادلات الخطيه المتزامنه باستعمال المصفوفات.
عمل غابرييل كرامراثناء القرن الثامن عشر على المصفوفات و المحددات.
قام العالم جوزيف لوى لاغرانج بدراسه التباديل فمنشورتة المكونه من ١٧٧٠ صفحة باسم “تاملات حول الحلول الجبريه للمعادلات” المكرسه لحلول المعادلات الجبرية,
والتى قدم من خلالها معادلات لاجرانج .

كان باولو روفينى اول شخص يضع نظريه زمر التباديل،
و كاسلافة كانت نظريتة كذلك فسياق حل المعادلات الجبرية.


تم تطوير علم الجبر المجرد فالقرن التاسع عشر الميلادي,
مستمدا من الرغبه فحل المعادلات,
مركزا فالبداية على ما يسمي حاليا بنظريه غالوا و على المسائل الانشائية.
[19]للجبر الحديث جذور عميقه من العمل و الدراسه تصل للقرن التاسع عشر الميلادي,
مثل اعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind و ليوبلد كرونكر.
كما يرتبط بفروع الرياضيات الثانية كنظريه الاعداد الجبريه و الهندسه الجبرية.[19] كان جورج بيكوك هو من اسس التفكير البديهى فعلم الحساب و الجبر.
اكتشف اوغست دو مورغان جبر العلاقات فكتابة منهج النظام المقترح للمنطق,
ووضع جوزية غيبس جبر المتجهات فو سط ثلاثى الابعاد,
كما طور ارثر كيلى جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).[20]

المجالات التي تحتوى على كلمه الجبر[عدل]

مجالات الرياضيات:


الجبر الابتدائي،
جزء من الجبر الذي عاده ما يتم تدريسة فمقررات الرياضيات الابتدائية.


الجبر المجرد،
فية بنيه الهياكل الجبريه كالزمر،
والحلقات و الحقول التي تم تعريفها و التحقق منها بديهيا .



الجبر الخطي،
والذى يتم دراسه خصائص محدده من المعادلات الخطية،
وفضاء المتجهات و المصفوفات.


الجبر التبادلى ،

دراسه الحلقات التبادلية


الجبر الكمبيوتر،
تنفيذ اساليب جبريه كالخوارزميات و برامج الكمبيوتر.


الجبر التماثلي،
دراسه الهياكل الجبريه التي تعتبر اساسية لدراسه الفضاء الطوبولوجي.


الجبر الشامل،
الذى يتم بها دراسه الخصائص المشتركه بين كل الهياكل الجبرية.


النظريه الجبريه للاعداد،
حيث يتم دراسه خصائص الاعداد من و جهه نظر جبرية.


الهندسه الجبرية،
وهي فرع من الهندسة،
فى شكل بدائى لتحديد المنحنيات و السطوح من قبل حلول المعادلات عديده الحدود.


التوافيق الجبرية،تستخدماساليب جبريه لدراسه مسائل التوافيق


الكثير من البني الرياضياتيه تسمي بالجبر :


الجبر المجرد او بشكل اعم الجبر على حقل


يشمل الجبر التجريدى او الجبر على حقل الكثير من الانواع:


الجبر التجميعي


الجبر غير التجميعي


جبر لاي


جبر هوبف


جبر النجمى سي


جبر التناظر


الجبر الخارجي


جبرالموترات


فى نظريه القياس:


جبر سيجما


الجبر على مجموعة


فى نظريه الفئات


فى المنطق:


جبر العلاقات,
حيث تكون المجموعة محدوده العلاقه مغلقه تحت عمليات معينة.


جبر بولياني,
بناء يلخص الحساب مع القيم الحقيقيه الخاطئة و الصحيحة


جبر هيتنج


الجبر الابتدائي[عدل]

الموضوع الرئيسي: الجبر الابتدائي

مجموعة كلمات جبرية: 1- القوه (الاس).
2- معامل.
3- المدى.
4- المشغل.
5- الحد الثابت.
x y c – المتغيرات / الثوابت.


الجبر الابتدائى هو ابسط شكل من الجبر.
يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض الا يصبح لديهم علم بالرياضيات اكثر من المبادئ الاساسية لعلم الحساب.
تحدث فعلم الحساب و الارقام فقط و عملياتهم الحسابيه (: ك+،

×،
÷).
فى الجبر،
وغالبا ما تدل الارقام عن طريق الرموز (: كA،


Y او Z).
وهذا مفيد للاسباب الاتية:


وهو يتيح للصياغه عامة للقوانين الحسابيه (: كا + ب = ب + ا لجميع ا و ب)،
وهو الخطوه الاولي لاستكشاف منهجى للخصائص نظام العدد الحقيقي.


وهو يتيح للاشاره الى ارقام “غير معروف”،
وصياغه المعادلات و دراسه طريقة حل هذه.
(علي سبيل المثال،
“العثور على عدد x بحيث 3X + 1 = 10” او الذهاب ابعد قليلا “العثور على عدد x كالفاس + ب = ج.” هذي الخطوه يؤدى الى الاستنتاج انه ليس من ذلك النوع من ارقام محدده تسمح لنا لحلها،
هذا الهدف من العمليات المعنية.)


وهو يتيح للصياغه العلاقات الوظيفية.
(علي سبيل المثال،
“اذا كنت تبيع تذاكر X،
ثم الربح الخاص بك سيصبح 3X – 10 دولار،
او F (X) = 3X – 10،
حيث f هي و ظيفة،
وx هو رقم لجميع و التي يتم تطبيقة على و ظيفة”.
)


كثيرات الحدود[عدل]

الرسم البيانى لوظبفه متعدده الحدود من الدرجه الثالثة..


الموضوع الرئيسي: كثيرات الحدود


كثيرات الحدود هي تركيب جبرى (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائى من الحدود الجبريه (الاطراف) الغير صفرية،
كل من هذي الحدود يتالف من حاصل ضرب عدد ثابت و عدد نهائى من المتغيرات المرفوعه لاس عدد صحيح.
علي سبيل المثال س٢ + ٢س – ٣ هي متعدد- الحدود فالمتغير الوحيد س.
يمكن اعاده كتابة كثيرات الحدود باستعمال الخواص التبادليه و الترابطيه و التوزيعيه لعمليتى الجمع و الضرب.
علي سبيل المثال،
(س -١ ) (س + ٣) تعبر عن كثيرة حدود,
ولكن اذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود.
داله كثيرات الحدود هي داله يتم تعريفها بواسطه كثيرة الحدود,
او على نحو مكافئ,
من اثناء التركيب الجبرى لكثيرة الحدود.
المثالان السابقان يعبران عن نفس داله كثيرة الحدود.


هناك اثنان من المشاكل المهمه و المتعلقه بالجبر,
وهي: ١) تحليل كثيرة الحدود الى عوامل اولية،
اى التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود ثانية لا ممكن تحليلها الى عوامل اوليه ابسط,
2) حساب القاسم المشترك الاكبر لكثيرة الحدود.
المثال المذكور اعلاة لكثيرة الحدود ممكن تحليلها الى عوامل اوليه كالتالي: (س – ١) (س + ٣).
فئه من المشاكل ذات الصله هي العثور على كلمات جبريه لجذور كثيرات الحدود فمتغير واحد.


تعليم الجبر[عدل]

انظر ايضا: تعليم الرياضيات


اقترح تدريس الجبر الابتدائى للطلاب ابتداء من عمر الحاديه عشر،[21] على الرغم من انه فالسنوات الاخيرة من الشائع ان تبدا الدروس العامة للجبر فالولايات المتحده فمستوي الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).[22]

منذ عام 1997 بدات جامعة فيرجينيا للتقنيه و بعض الجامعات الثانية فاستعمال نموذج مخصص فتدريس الجبر و الذي يجمع بين النتائج و ردود الفعل الفوريه من برامج الحاسوب المتخصصه مع تعليم (واحد لواحد) و مجموعات دراسية مصغرة،
الامر الذي خفض التكاليف و زاد معدل انجازات الطلاب.[23]

  • بحث عن الجبر
  • بحث عن مكتشف العباره الجبريه
  • بحث عن علم الجبر
  • بحث عن الجبر في الرياضيات
  • تاريخ للرياضيات الاغريقية
  • بحث الجبر
  • اهم كتب علم الجبر في الوقت الحاضر
  • بحث عن علم الجبر في عشر صفحات
  • بحث علم الجبر
  • كتابة خاتمة لبحث علم الجبر


بحث رياضيات عن الجبر