المتوسط الحسابي من أهم عوامل الإحصاء الرياضية،
واليوم سنتعرف معًا على كيفية حسابه:
نظره عامة حول المتوسط الحسابي ممكن تعريف المتوسط الحسابي أو الوسط الحسابي
(بالإنجليزية: Mean) أو المعدل بأنة أحد أكثر مقاييس النزعه المركزيه شهره و ممكن من خلاله
العثور على القيمه التي مثّل مركز البيانات المعطاة،[١] و يتم عاده الخلط بينة و بين مقاييس
النزعه المركزيه الأخرى،
وهي المنوال،
والوسيط،
إلا أنة يختلف عنهما تماماً؛
إذ يعبّر المنوال
(بالإنجليزية: Mode) عن القيمه الأكثر تكراراً ضمن مجموعة من البيانات،
بينما يعبّر الوسيط
(بالإنجليزية: Median) عن القيمه الوسطي التي تقع فمنتصف البيانات تماماً عند ترتيبها دون
أخذ القيم المتطرفه بعين الاعتبار.[٢] لمزيد من المعلومات حول المنوال،
والوسيط يمكنك قراءة
المواضيع الآتية: طريقة حساب الوسيط،
طريقة حساب المنوال.
طريقة حساب المتوسط
الحسابي حساب الوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد لحساب المتوسط الحسابي
لمجموعة من الأعداد يجب أولاً جمع هذي الأعداد معاً،
ثم قسمه ناتج عملية الجمع على عدد
هذه الأعداد،
وذلك على النحو الآتي:[٢] المتوسط الحسابي= (س1 + س2 + س3 …..س
ن)/ن.
فمثلاً المتوسط الحسابي للأعداد الآتيه (1،2،3،4،5) هو: (1+2+3+4+5)/5= 15/5=3.
لمزيد من المعلومات حول المتوسّط الحسابي يمكنك قراءه الموضوع الآتي: ما هو الوسط
الحسابي.
حساب الوسط الحسابي للجداول التكراريه ممكن حساب الوسط الحسابي للجداول
التكراريه و هذا كما فالمثال الآتي:[٣] احسب الوسط الحسابي للجداول الآتى الذي يوضّح
الكميات المباعه لإحدي السلع فأحد المحال التجارية،
اثناء لمدة أربعين يوماً.
الفئه (الكمية
المُباعة) التكرار (ت) (الأيام) 180-172 3 171-163 5 162-154 9 153-145 12 144-136 5 135-
127 4 126-118 2 لحساب المتوسط الحسابي يجب أولاً حساب مركز جميع فئه من الفئات،
والذى يساوي: مركز الفئه (م)= (الحد الأعلي للفئه + الحد الأدني للفئة)/2.
(180+172)/2 =
176.
(163+171)/2 = 167.
(162+154)/2 = 158.
(153+145)/2 = 149.
(136+144)/2 =
140.
(135+127)/2 = 131.
(126+118)/2 = 122.
الفئه (الكميه المُباعة) التكرار (الأيام) مركز
الفئه (م) 180-172 3 176 171-163 5 167 162-154 9 158 153-145 12 149 144-136 5 140
135-127 4 131 126-118 2 122 حساب حاصل ضرب مركز جميع فئه بتكرارها،
ثم حساب مجموع
حاصل ضرب مركز جميع فئه بتكرارها،
ومجموع التكرارات أو عدد الأيام.
الفئه (الكميه المُباعة)
التكرار (الأيام) مركز الفئه مركز الفئة×التكرار 180-172 3 176 528 171-163 5 167 835 162-
154 9 158 1422 153-145 12 149 1788 144-136 5 140 700 135-127 4 131 524 126-118
2 122 244 المجموع 40 – 6041 التعويض فالقانون: المتوسط الحسابي مجموع حاصل
ضرب مركز جميع فئه بتكرارها/ مجموع التكرارات (حجم العينة)= (م×ت)Σ/تΣ المتوسط الحسابي
= 6041/40 = 151.03،
وهذا يعني أن متوسط الكميه التي يتم بيعها من هذي السلعه هو 151
قطعة اثناء اليوم الواحد.
أمثله على حساب المتوسط الحسابي المثال الأول: ما قيمه المتوسط
الحسابي لعلامات عشره من الطلاب فما ده الرياضيات إذا كانت علاماتهم على النحو الآتي:
77،
62،
89،
95،
88،
74،
82،
93،
79،
82؟[٤] الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع
الخطوات الآتية: حساب مجموع كل علامات الطلاب،
كالآتي:
77+62+89+95+88+74+82+93+79+82 = 821.
قسمه المجموع على عدد العلامات،
وهو
عشره كما ذُكر فالسؤال: المتوسط الحسابي 821/10 = 82.1.
المثال الثاني: ما هو
المتوسط الحسابي للأعداد الآتية: 2،
4،
6،
9،
21،
13،
5،
12؟[٤] الحل: لحساب المتوسط
الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية: حساب مجموع كل هذي الأعداد،
كالآتي:
2+4+6+9+21+13+5+12 = 72 قسمه مجموع هذي الأعداد على عددها،
وعددها هو 8،
وذلك كالآتي: المتوسط الحسابي 72/8 = 9 المثال الثالث: ما قيمه المتوسط الحسابي
للأعداد الآتية: 3،
7،
5،
13،
20،
23،
39،
23،
40،
23،
14،
12،
56،
23،
29؟[٥] الحل: لحساب
المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية: حساب مجموع كل هذي الأعداد،
كالآتي:
3+7+5+13+20+23+39+23+40+23+12+14+56+23+29= 330.
عددها هو 15،
والمتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على عددها: المتوسط الحسابي=
330/15= 22.
المثال الرابع:: ما قيمه المتوسط الحسابي للأعداد الآتية: 3،
−7،
5،
13،
−2 ؟
[٥] الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية: حساب مجموع كل هذه
الأعداد،
كالآتي: 3−7+5+13−2= 12 عدد هذي الأرقام هو 5،
والمتوسط الحسابي يساوى ناتج
قسمه مجموع الأعداد على عددها: المتوسط الحسابي= 12/5 = 2.4.
المثال الخامس: إذا
حصل أحمد على العلامات الآتيه فنهاية فصلة الدراسي،
جد معدلة أو المتوسط الحسابي
لعلاماته.[٦] المادة العلامه الرياضيات 51% العلوم 70% اللغه الإنجليزيه 62% الجغرافيا 39%
التاريخ 81% الاقتصاد 57% الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
حساب مجموع كل هذي الأعداد،
كالآتي: 51+70+62+39+81+57 = 360.
عدد هذي الأعداد
هو 6،
والمتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على عددها: المتوسط
الحسابي= 360/6 = 60%.
المثال السادس: إذا كان عدد صفحات أحد الكتب هو 12 صفحة،
وكان عدد عبارات جميع صفحة على النحو الآتي: 271،
354،
296،
301،
333،
326،
285،
298،
327،
316،
287،
314،
جد المتوسط الحسابي لعدد عبارات هذي الكتاب.[٦] الحل: لحساب
المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية: حساب مجموع كل هذي الأعداد،
كالآتي:
271+354+296+301+333+326+285+298+327+316+287+314 = 3,708.
عدد الصفحات
هو 12،
والمتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على عددها: المتوسط
الحسابي= 3,708/12 = 309 كلمة.
المثال السابع: إذا كان المتوسط الحسابي لخمسه عشر
عدداً هو 12،
وتمت إضافه عدد إليها و حساب المتوسط الحسابي لها مره أخري ليكون 13،
فما
هو العدد الذي تمت إضافته؟[٦] الحل: المتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد
علي عددها،
وعليه: نفترض أن مجموع الأعداد قبل إضافه العدد (س) هو (م)،
وعليه المتوسط
الحسابي قبل إضافه العدد (س)= م/15 = 12،
ومنه: مجموع الأعداد = 180.
المتوسط
الحسابي بعد إضافه العدد (س)=(م+س)/16 = (180+س)/16= 13،
وبحل المعادله ينتج أن:
13×16= 180+س،
ومنه: 208= 180+س،
ومنه: س= 28؛
أى أن العدد الذي تمت إضافتة هو
28.
المثال الثامن: إذا كان المتوسط الحسابي لعلامات 29 طالباً فما ده العلوم هو 56%،
ثم
تقدم عليٌّ لأداء الامتحان بعد أن تغيب عنه فالمره الأولي بسبب مرضة و حصل على نتيجة
71%،
جد المتوسط الحسابي لعلامات الطلاب فما ده العلوم بعد احتساب علامه عليّ؟[٦]
الحل: المتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على عددها،
وعليه: مجموع
علامات الطلاب/29= 56،
ومنة مجموع علامات الطلاب دون علامه على 1,624.
مجموع
علامات الطلاب+علامه علي= 1,624+71= 1,695.
المتوسط الحسابي لجميع علامات الطلاب
مع على 1,695/30= 56.5%.
المثال التاسع: إذا حصلت فاطمه على علامتى 75،
71 في
مادتى الرياضيات و العلوم،
جد العلامه التي يجب عليها تحصيلها فاللغه الإنجليزيه حتى
تتمكن من الحصول على معدل 80 فالمواد الثلاث فالنهاية.[٧] الحل: نفترض أن علامة
اللغه الإنجليزيه هي (س)،
وعليه المتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على
عددها،
ومنه: (71+75+س)/3 = 80،
ومنه: 146+س = 240،
ومنه: س= 94؛
أى على فاطمة
الحصول على علامه 94 فاللغه الإنجليزيه للحصول على النتيجة التي تريد.
المثال العاشر: إذا
كان هنالك تسعه أشخاص فأحد المصاعد و كان المتوسط الحسابي لكتلتهم 71كغ،
إذا توقف
المصعد و دخل إلية شخصان آخران متوسط كتلتهم هو 80كغ،
جد المتوسط الحسابي لكتلة
جميع الأشخاص فالمصعد.[٧] الحل: المتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد
علي عددها،
ومنه: مجموع كتله الأشخاص التسعة/9 = 71،
ومنه: مجموع كتله الأشخاص
التسعة= 639كغ.
مجموع كتله الشخصين الأخيرين/2 = 80،
ومنه: مجموع كتله الشخصين
الأخيرين= 160كغ.
المتوسط الحسابي لكتله كل الأشخاص فالمصعد = (160+639) / 11
= 72.6 كغ.
المثال الحادى عشر: إذا كان المتوسط الحسابي لعددين هو 10،
وكان أحدهما يزيد
عن الآخر بمقدار 6،
جد قيمه العددين.[٦] الحل: نفترض أن العدد الأول هو س،
والعدد الآخر هو
(س-6)،
والمتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على عددها،
ومنه: (س+
(س-6))/2 = 10،
ومنه: 20=2س-6،
ومنه: س=13،
وهي قيمه العدد الأول،
أما قيمه العدد
الثاني فهي: س-6 = 13-6 = 7.
المثال الثاني عشر: إذا كانت المسافه التي يمشيها أحمد
يومياً هي على النحو الآتي:[٧] اليوم المسافه الأحد 1كم.
الإثنين 1.5كم.
الثلاثاء 1كم.
الأربعاء
2كم.
الخميس 1.5كم.
جد المتوسط الحسابي للمسافه التي يقطعها أحمد يومياً اثناء الأيام
الخمس السابقة.
الحل: المتوسط الحسابي يساوى ناتج قسمه مجموع الأعداد على
عددها،
ومنه: المتوسط الحسابي= (1+1.5+1+2+1.5)/5 = 7/5 = 1.4كم.
