بحث رياضيات عن الجبر

الجبر كلمة عربية وهو فرع من علم الرياضيات وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك
والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية
التي تنظم ايجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية.
ويشكل علم الجبر احد الفروع الثلاثة الاساسية في الرياضيات اضافة الى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي
ونظرية الاعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.
والجبر هو مفهوم اوسع واشمل من الحساب او الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الارقام
فحسب، بل يصيغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصيغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها
يمكن تمثيل اي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الاساسيات المنظمة لطرق البرهان.

يوجد لذالك الوصف نفس الاختلاف:
بدون المادة. تعني جزء من علم الجبر ، مثل الجبر الخطي ، الجبر الابتدائي (قواعد
معالجة-الرموز التي تدرس في مناهج الرياضيات كجزء من التعليم الاساسي والتعليم الثانوي) او الجبر المجرد
(دراسة الهياكل الجبرية مع المادة).
فهذا يعني انه مثيل لبعض التراكيب المجردة، مثل جبر تبادلي او الجبر الترابطي.
كما هو الحال في الجملة: الجبر التبادلي هو دراسة الحلقات، الحلقات التبادلية، التي تعرف كلها
بالجبر التبادلي على الاعداد الصحيحة.
مصطلح علم الجبر احيانا يستخدم للدلالة على عمليات واساليب جبرية بينما الهيكل او البنية الاساسية
لها غير متعلقة بعلم الجبر. على سبيل المثال، الجبر هو سلسلة لا نهائية من الممكن
ان تدل على سلسلة من الاساليب الحاسوبية دون استخدام مفاهيم لا نهائية من الجمع، الحدود
والتقارب. الصفة “جبري” عادة تعني ما يتعلق بالجبر، كما في الهيكل الجبري . ولاسباب تاريخية،
قد تعني ايضا العلاقة بجذور معادلات متعددة الحدود، كما في العدد جبري، والامتداد جبري او
التعبير جبري
علم الجبر كاحد فروع علم الرياضيات[عدل]
ان اهم ما يعرف به علم الجبر هو تشابه عملياته الحسابية بالعمليات الحسابية البسيطة، الا
ان الفرق انه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة. هذه المتغيرات تمثل ارقاما لم تعرف
بعد (مجهولة) او ارقاما غير محددة (متغير او معامل)،[1] مما يسمح للفرد ان يثبت صحة
هذه الخصائص بغض النظر عن الارقام محل النظر. مثلا في هذه المعادلة التربيعية التالية:
ا س 2 + ب س + ج = 0
ا و ب و ج مجاهيل و س معامل. وحل هذه المعادلة يتطلب حساب المجاهيل
والتعبير عن قيمة المعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا يتم اعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام
بعملية حسابية بسيطة.
كما تطور علم الجبر فقد توسع الى اشياء اخرى غير عددية ، مثل المتجهات والمصفوفات
او متعددة الحدود. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الاشياء غير العددية لتحديد الهياكل الجبرية
مثل المجموعات، ودوائر والحقول والجبر. قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات الى قسمين فرعيين
فقط هما الحساب والهندسة. على الرغم من بعض الاساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك
بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فان ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير،
وحساب التفاضل والتكامل كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 او 17. من النصف
الثاني من القرن 19 على، ظهرت العديد من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها شملت علم الجبر،
اما كليا او جزئيا.
ويتبع ذلك ان الجبر بدلا من ان يكون فرعا من فروع الرياضيات، اصبح هذه الايام
مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات [2]
حيث ولا واحد من مناطق المستويات الاولى (مدخلات الاعداد الثنائية) تسمى الجبر. في الحقيقة الجبر
على وجه التقريب, هو اتحاد اقسام 08-انظمة الجبر العامة و12- نظرية الحقول ومتعددات الحدود و
13- الجبر التبادلي و 15-الجبر الخطي والمتعدد الخطي ؛نظرية المصفوفات و 16-الحلقات الترابطية والجبر و
17-الحلقات الغير ترابطية والجبر و18- نظرية التصنيف الجبر التماثلي و19-نظرية كاي و20- نظرية المجموعة. بعض
مناطق المستوى الاول ربما تعتبر انها تنتمي الى الجبر بشكل جزئي مثل 11-نظرية الاعداد (بشكل
عام لنظرية العدد الجبري) و 14-الهندسة الجبرية.
الجبر الابتدائي هو جزء من الجبر الذي عادة يدرس في الصفوف الاولية للرياضيات.الجبر المجرد هو
اسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر انفسهم.
تاريخ[عدل]
بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل
فرانسوا فييت . ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الاعمال في وقت سابق بانها الجبر وتعتبر
عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.
عصور ما قبل التاريخ من الجبر[عدل]

الصفحة الاولى من الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة للخوارزمي
يمكن تتبع جذور علم الجبر الى قدماء البابليين [3]، الذين طوروا نظاما حسابيا متقدما كان
قادرا على القيام بعمليات حسابية بطريقة خوارزمية. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تحل عادة
اليوم باستخدام المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فان
معظم المصريين في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية والصينية في الالفية الاولى قبل الميلاد، تحل
عادة مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في بردية ريند الرياضية واصول
اقليدس والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزا بالعناصر، اطارا لتعميم الصيغ
ما وراء حل مسائل معينة الى انظمة اكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم
من ان هذا لم يلاحظ حتى تطورت الرياضيات في العصور الوسطى من الاسلام.[4]
خضعت الرياضيات الاغريقية لتغير جذري في عصر افلاطون. انشا الاغريق الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات
من جوانب الاشكال الهندسية ، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة
بها.[1] ديوفانتوس الاسكندري(القرن الثالث ميلادي)، يسمى احيانا “والد الجبر” ، كان عالم رياضيات اغريقيا اسكندريا
ومؤلف سلسلة من الكتب تسمى ارثميتكا .تبحث كتبه في حل المعادلات الجبرية.[5] تاتي كلمة الجبر
من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم او الاستعادة) وكما تاتي الكثير من اساليبها من الرياضيات
العربية/ الاسلامية. اثرت التقاليد التي نوقشت في اعلاه بشكل مباشر على محمد بن موسى الخوارزمي
(عام ٧٨٠-٨٥٠). لاحقا، الف كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، الذي انشا علم الجبر كتخصص
رياضيات مستقل عن الهندسة وعلم الحساب.[6]
اكمل عالما الرياضيات الهيلينستيان هيرو السكندري وديوفانتس[7] مثلهم مثل العلماء الهنود في الرياضيات كبراهماغوبتا تعاليم
المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي ارثمتكا لديفانتوس والسيدهانتالبراهماغوبتا بمستوى اعلى [8]. فعلى سبيل
المثال, تم وصف حل اول مسالة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) الى المعادلات التربيعية
من قبل براهماغوبتا في كتابه سيندهانتا. لاحقا, طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات
عليا من الدقة والاتقان. وعلى الرغم من ان ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في
حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي السبق الاساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون
الحاجة لرمزية الجبر والاعداد السالبة اوالصفر, ومن ثم قام بتمييز العديد من المعادلات التربيعية.[9] عرف
عالم الرياضيات الاغريقي ديوفانتوس تاريخيا بلقب ” والد الجبر”، ولكن برزت في الاونة الاخيرة نقاشات
كثيرة حول ما اذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلا عن ديوفانتوس.[10]
حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس الى حقيقة ان علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي اكثر بدائية
مقارنة بالموجود في “اريثميتيكا”، وان “اريثميتيكا” يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماما.[11] في حين
يشير مؤيدي الخوارزمي الى حقيقة انه ادخل منهجية “التبسيط” و”الموازنة” (نقل التعابير السالبة الى الجانب
الاخر من المعادلة، او بعبارة اخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا اطراف المعادلة) وهي المنهجية
المعبر عنها في الاصل بكلمة “الجبر”[12]، كما وانه اعطى شرحا مفصلا عن حل المعادلات التربيعية[13]،
مدعما بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته.[14] كما ان “جبر” الخوارزمي ليس
معني “بسلسلة من المسائل الرياضية التي يجب حلها، بل بعرض يبدا بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم
جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الان فصاعدا، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي”. درس الخوارزمي
ايضا المعادلة لذاتها و”بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسالة، بل
باستخدامها خصيصا لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.[15]
نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام في تحديد اسس الهندسة الجبرية وايجاد الحل الهندسي
العام للمعادلة التكعيبية. كما اوجد عالم رياضيات فارسي اخر يدعى شرف الدين الطوسي مجموعة من
الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية[16]، بالاضافة الى انه طور مفهوم الدوال[17]. علماء
الرياضايات الهنديان مهافيرا و بهاسكارا الثاني، والفارسي الكرخي
[18]، والصيني تشو شي جيه، قاموا بايجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة
الرابعة والخامسة، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة
التكعيبية من قبل ليوناردو فيبوناتشي بداية النهضة في علم الجبر في اوروبا، في حين اخذ
العالم الاسلامي في التراجع لصالح العالم الاوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.
تاريخ الجبر[عدل]
يمثل عمل فرانسوا فييت في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لعلم الجبر. في
عام 1637م نشر رينيه ديكارت كتاب علم الهندسة مخترعا بذلك الهندسة التحليلية وقدم المناهج الجبرية
الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف
القرن السادس عشر، حدث رئيسي اخر في تطور علم الجبر. وضعت فكرة المحددات من قبل
عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي في القرن السابع عشر الميلادي, تبع ذلك بشكل مستقل عالم
الرياضيات غوتفريد لايبنتس بعد عشر سنوات, وذلك بهدف حل انظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات.
عمل غابرييل كرامرخلال القرن الثامن عشر على المصفوفات و المحددات. قام العالم جوزيف لوي لاغرانج
بدراسة التباديل في منشورته المكونة من ١٧٧٠ صفحة باسم “تاملات حول الحلول الجبرية للمعادلات” المكرسة
لحلول المعادلات الجبرية, والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج . كان باولو روفيني اول شخص
يضع نظرية زمر التباديل، و مثل اسلافه كانت نظريته ايضا في سياق حل المعادلات الجبرية.

تم تطوير علم الجبر المجرد في القرن التاسع عشر الميلادي, مستمدا من الرغبة في حل
المعادلات, مركزا في البداية على مايسمى حاليا بنظرية غالوا وعلى المسائل الانشائية. [19]للجبر الحديث جذور
عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي, مثل اعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind
و ليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الاخرى مثل نظرية الاعداد الجبرية والهندسة الجبرية.[19] كان
جورج بيكوك هو من اسس التفكير البديهي في علم الحساب والجبر. اكتشف اوغست دو مورغان
جبر العلاقات في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق, ووضع جوزيه غيبس جبر المتجهات في وسط
ثلاثي الابعاد, كما طور ارثر كيلي جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).[20]
المجالات التي تحتوي على كلمة الجبر[عدل]
مجالات الرياضيات:
الجبر الابتدائي، جزء من الجبر الذي عادة ما يتم تدريسه في مقررات الرياضيات الابتدائية.
الجبر المجرد، فيه بنية الهياكل الجبرية مثل الزمر، والحلقات والحقول التي تم تعريفها والتحقق منها
بديهيا .
الجبر الخطي، والذي يتم دراسة خصائص محددة من المعادلات الخطية، وفضاء المتجهات والمصفوفات.
الجبر التبادلي ، دراسة الحلقات التبادلية
الجبر الكمبيوتر، تنفيذ اساليب جبرية كالخوارزميات وبرامج الكمبيوتر.
الجبر التماثلي، دراسة الهياكل الجبرية التي تعتبر اساسية لدراسة الفضاء الطوبولوجي.
الجبر الشامل، الذي يتم فيها دراسة الخصائص المشتركة بين جميع الهياكل الجبرية.
النظرية الجبرية للاعداد، حيث يتم دراسة خصائص الاعداد من وجهة نظر جبرية.
الهندسة الجبرية، وهي فرع من الهندسة، في شكل بدائي لتحديد المنحنيات والسطوح من قبل حلول
المعادلات عديدة الحدود.
التوافيق الجبرية،تستخدماساليب جبرية لدراسة مسائل التوافيق
العديد من البنى الرياضياتية تسمى بالجبر :
الجبر المجرد او بشكل اعم الجبر على حقل
يشمل الجبر التجريدي او الجبر على حقل العديد من الانواع:
الجبر التجميعي
الجبر غير التجميعي
جبر لاي
جبر هوبف
جبر النجمي سي
جبر التناظر
الجبر الخارجي
جبرالموترات
في نظرية القياس:
جبر سيجما
الجبر على مجموعة
في نظرية الفئات
في المنطق:
جبر العلاقات, حيث تكون المجموعة محدودة العلاقة مغلقة تحت عمليات معينة.
جبر بولياني, بناء يلخص الحساب مع القيم الحقيقية الخاطئة والصحيحة
جبر هيتنج
الجبر الابتدائي[عدل]
المقال الرئيسي: الجبر الابتدائي

مجموعة عبارات جبرية: 1- القوة (الاس). 2- معامل. 3- المدى. 4- المشغل. 5- الحد الثابت.
x y c – المتغيرات / الثوابت.
الجبر الابتدائي هو ابسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض الا يكون لديهم
علم بالرياضيات اكثر من المبادئ الاساسية لعلم الحساب. تحدث في علم الحساب والارقام فقط وعملياتهم
الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالبا ما تدل الارقام عن طريق
الرموز (: مثل A، N، X، Y او Z). وهذا مفيد للاسباب التالية:
وهو يتيح للصياغة عامة للقوانين الحسابية (: مثل ا + ب = ب + ا
لجميع ا و ب)، وهو الخطوة الاولى لاستكشاف منهجي للخصائص نظام العدد الحقيقي.
وهو يتيح للاشارة الى ارقام “غير معروف”، وصياغة المعادلات ودراسة كيفية حل هذه. (على سبيل
المثال، “العثور على عدد x بحيث 3X + 1 = 10” او الذهاب ابعد قليلا
“العثور على عدد x مثل الفاس + ب = ج.” هذه الخطوة يؤدي الى الاستنتاج
انه ليس من هذا النوع من ارقام محددة تسمح لنا لحلها، هذا الهدف من العمليات
المعنية.)
وهو يتيح للصياغة العلاقات الوظيفية. (على سبيل المثال، “اذا كنت تبيع تذاكر X، ثم الربح
الخاص بك سيكون 3X – 10 دولار، او F (X) = 3X – 10، حيث
f هي وظيفة، وx هو رقم لجميع والتي يتم تطبيقه على وظيفة”. )
كثيرات الحدود[عدل]

الرسم البياني لوظبفة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة..
المقال الرئيسي: كثيرات الحدود
كثيرات الحدود هي تركيب جبري (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من الحدود الجبرية
(الاطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتالف من حاصل ضرب عدد ثابت و عدد
نهائي من المتغيرات المرفوعة لاس عدد صحيح. على سبيل المثال س٢ + ٢س – ٣
هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن اعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية
و الترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -١ ) (س + ٣)
تعبر عن كثيرة حدود, ولكن اذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات
الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود, او على نحو مكافئ, من خلال التركيب
الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.
هنالك اثنان من المشاكل المهمة و المتعلقة بالجبر, وهي: ١) تحليل كثيرة الحدود الى عوامل
اولية، اي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود اخرى لا يمكن تحليلها
الى عوامل اولية ابسط, 2) حساب القاسم المشترك الاكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور اعلاه لكثيرة
الحدود يمكن تحليلها الى عوامل اولية كالتالي: (س – ١) (س + ٣). فئة من
المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية لجذور كثيرات الحدود في متغير واحد.
تعليم الجبر[عدل]
انظر ايضا: تعليم الرياضيات
اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر،[21] على الرغم من انه في
السنوات الاخيرة من الشائع ان تبدا الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف
الثامن (≈ 13 عاما ±).[22]
منذ عام 1997 بدات جامعة فيرجينيا للتقنية وبعض الجامعات الاخرى في استخدام نموذج مخصص في
تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود الفعل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم
(واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الامر الذي خفض التكاليف وزاد معدل انجازات الطلاب.[23]

• بحث عن الجبر
• بحث عن مكتشف العباره الجبريه
• بحث عن علم الجبر
• بحث عن الجبر في الرياضيات
• تاريخ للرياضيات الاغريقية
• بحث الجبر
• اهم كتب علم الجبر في الوقت الحاضر
• بحث عن علم الجبر في عشر صفحات
• بحث علم الجبر
• كتابة خاتمة لبحث علم الجبر